格子点を含む円
格子点を含む円
定義《格子点》
座標の各成分が整数であるような座標平面上の点を格子点 (lattice point) と呼ぶ.
定理《シュタインハウスの問題の解》
すべての正の整数 $n$ に対して, 平面上でちょうど $n$ 個の格子点を含むような円板が存在する.
証明
こちらを参照.
定理《シンゼルの定理》
すべての正の整数 $n$ に対して, 平面上でちょうど $n$ 個の格子点を通るような円周が存在する.
その円周の方程式は $n = 2k$ ($k$: 正の整数) のとき
\[\left( x-\frac{1}{2}\right) ^2+y^2 = \frac{5^{k-1}}{4}\]
で, $n = 2k+1$ ($k$: 非負整数) のとき
\[\left( x-\frac{1}{3}\right) ^2+y^2 = \frac{5^{2k}}{9}\]
で与えられる.
高校数学の問題
図形と方程式
問題《シュタインハウスの問題》
$xy$ 平面において $x$ 座標, $y$ 座標が整数である点を「格子点」と呼ぶ.
点 $\mathrm C\left(\sqrt 2,\dfrac{1}{3}\right)$ からそれぞれの「格子点」までの距離はすべて異なることを示せ.
$\sqrt 2$ が無理数であることは証明なしに使ってよい.
(参考: $1977$ 香川大)
解答例
こちらを参照.